Matematikai fizika egyenletek - ingyenes tanfolyam a Nyílt oktatásból, képzésből, dátum: 2023. december 5.

1. Első találkozás. Bevezető szó. A matematikai fizika egyenleteivel való munka alapelvei. Példák egyszerű egyenletekre. Osztályozás. Egyszerű egyenletek megoldása közönséges differenciálegyenletekre redukálva. Változók cseréje egy egyenletben.

2. Elsőrendű egyenletek – lineáris és kvázilineáris. Lineáris egyenletek. Megfelelő helyettesítő keresése - elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer összeállítása és megoldása. A rendszer első integráljai. Jellemzők. Kvázilineáris egyenletek. Megoldás keresése implicit formában.

3. Cauchy probléma. Lineáris másodrendű egyenletek osztályozása. A Cauchy-probléma megállapítása. Tétel a Cauchy-probléma megoldásának létezéséről és egyediségéről. Másodrendű lineáris egyenletek állandó együtthatós osztályozása. Redukálás kanonikus formára.

4. Hiperbolikus, parabolikus és elliptikus egyenletek. Másodrendű lineáris egyenletek osztályozása változó együtthatókkal a síkon. Hiperbolikus, parabolikus és elliptikus típus. Hiperbolikus egyenletek megoldása. Problémák a kezdeti és peremfeltételekkel.

5. String egyenlet. Egydimenziós hullámegyenlet a teljes tengelyen. Előre és hátra hullám. d'Alembert képlete. Duhamel integrál. Az egyenlet peremfeltételei a féltengelyen. A peremfeltételek alaptípusai. A megoldás folytatása. Egy véges szakasz esete.

6. Fourier-módszer, példaként a karakterlánc-egyenlet felhasználásával. A Fourier-módszer ötlete. Az első lépés az alapot megtalálni. A második lépés a Fourier-együtthatók közönséges differenciálegyenletei. A harmadik lépés a kezdeti adatok figyelembevétele. Sorozatok konvergenciája.

7. Diffúziós egyenlet (véges szegmens) Az egyenlet levezetése. Problémák megfogalmazása (kiindulási és peremfeltételek). Fourier módszer. A jobb oldal és az inhomogenitás figyelembevétele peremfeltételekben. Sorozatok konvergenciája.

8. Diffúziós egyenlet (teljes tengely) Fourier transzformáció, inverziós képlet. Az egyenlet megoldása Fourier transzformáció segítségével. Tétel – a módszer indoklása (két eset). Poisson-képlet. A jobb oldali egyenlet esete.

9. Általánosított függvények. A Poisson-képlet konvolúcióként való felírása. Felvétel a hőegyenlet megoldásának konvolúciója formájában egy véges szakaszon. Schwartz osztály. Példák az osztály függvényeire. Általánosított függvények meghatározása, kapcsolat a klasszikus függvényekkel. Általánosított függvény szorzása alapfüggvénnyel, differenciálás. Általánosított függvények konvergenciája. Példák általános függvényekre.

10. Munka általános függvényekkel. Közönséges differenciálegyenletek megoldása általánosított függvényekben. Általánosított függvények Fourier-transzformációja. Konvolúció. Közvetlen termék. Egy általánosított függvény hordozója. Az inhomogén egydimenziós hőegyenlet megoldása az alapmegoldás segítségével. Egy közönséges differenciáloperátor alapvető megoldása intervallumon.

11. Alapvető megoldások. A többdimenziós hőegyenlet Poisson-képletének levezetése. Kirkhoff-képlet levezetése. A hullámegyenlet Poisson-képletének levezetése. Feladatok megoldása a változók szétválasztási módszerével, a szuperpozíció módszerével.

12. Laplace-egyenlet. A Laplace-egyenlet levezetése. Vektormező – potenciál, áramlás egy felületen. Volumen potenciál. Egyszerű rétegpotenciál. Kétrétegű potenciál. Logaritmikus potenciál.

13. Dirichlet-probléma, Neumann-probléma és Green-függvény. Harmonikus függvények. Gyenge extrémum elv. Harnack tétele. Szigorú maximum elv. Egyediség tétel. Átlagérték tétel. Végtelen simaság. Liouville tétele. Green képlete. Green funkciója, tulajdonságai. A Poisson-probléma megoldása Dirichlet-feltételekkel a Green-függvény segítségével. Egyéb határérték problémák. A Green-függvény megalkotása reflexiós módszerrel.

14. Többdimenziós Fourier-módszer. Feladatok megoldása Fourier módszerrel. Különféle peremfeltételek. Bessel-függvények. Legendre polinom. Az elvégzett tanfolyam áttekintése. Összegzés.